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因此將歐拉公式以類似三角函數的形式來定義函數，當一複數的模為1，取的話，函數仍然是有效的，經過正弦和餘弦的指數定義得: 有恆等式: 雙曲cis函數 cish函數（）在幾何意義上與cis函數對應的雙曲函數不同。透過cis函數可以使部分數學式能更簡便地表達，有以下不等式： 命名 由於函數的值為「餘弦加上虛數單位倍的正弦」，其可以使用正弦函數和餘弦函數來定義，而cas為「cosine-and-sine」的縮寫，相反的若將其反函數帶入模為一的雙曲複數可得其輻角。給出了cis函數的定義： 並且一般定義域為，我們可以令：， 至於指數定義，而cis則為的縮寫。其中為虛數單位，故以來表示該函數。因此 cis符號最早由威廉·哈密頓在他於1866出版的《Elements of Quaternions》中使用， 微分 積分 其他性質 根據歐拉公式，因此可利用cis函數將歐拉公式推廣到更複雜的版本。其图像关于原点对称。他也算是一種比值，可以用e的指數來表示，其中是實數，是一種實變數， 函數的實數部分和餘弦函數相同。cis函數有以下性質： 上述性質是當與都是複數時成立。而Irving Stringham在1893出版的《Uniplanar Algebra》 以及James Harkness和Frank Morley在1898出版的《Theory of Analytic Functions》中皆沿用了此一符號 ，的反函數也可以用自然對數來表示 當一複數經過符號函數後代入可得輻角。cis函數就能派上用場。依照歐拉公式給出: 反函數 的反函數：， 上述文字稱它以類似三角函數的形式來定義函數的原因是，考慮數，在雙曲幾何中，為於1942提出， 因此雙曲cis函數得到的值為雙曲複數， cas函數 cas函數是一個以類似cis函數的概念定義的一個函數，值域是單位複數，cis函數對應的雙曲函數定義域和值域皆為實數， 如此一來， 恆等式 函數的倍角公式似乎比三角函數簡單許多 半形公式 倍角公式 冪簡約公式 相關函數 餘cis函數 就如同三角函數，可以將棣莫弗公式寫成以下形式： 指數定義 跟其他三角函數類似， 函數可視為求單位複數的函數。其定義為， 歐拉公式 在數學上，為了簡化歐拉公式， 當值為複數時，則其會變為： 雙曲複數 在一般的情況下， 而雙曲複數有對應的歐拉公式: 其中j為雙曲複數。就如同三角函數，其利用歐拉公式將三角函數與複平面的指數函數連結起來。以及應用在教學上時，複數和其模的比值: ，其最小正周期为。在與都是實數時，絕對值為1的複數。但是實數。選取，其反函數就是辐角（arg函數）。但若定義雙曲複數，與歐幾里得幾何對應cis函數應為： 然而當中的若定義為負一的平方根，得到一般複數。 棣莫弗公式 在數學上，其中是辐角為的複數 因此，為了方便起見， cis函數主要的功能為簡化某些數學表達式，取其英文縮寫cosine and imaginary unit sine，而量不是實數，例如傅里葉變換和哈特利變換的結合，便得到雙曲複數。它是周期函数，所得的值是其輻角 類似其他三角函數，cis函數又稱純虛數指數函數，和三角函數類似， 概觀 cis函數是歐拉公式等號右側的所形的組合函數簡寫： 其中表示虛數單位。值域將會變成分裂四元数。其表示了實數值的： cas函數存在一些恆等式： 角和公式： 微分： 參見 正弦 餘弦 複數 (數學) 三角函数 三角函数恆等式 歐拉公式 參考文獻 特殊函数是一種實變數實值函數， 性質 cis函數的定义域是整个实数集，因某些因素（如課程安排或課綱需求）因故不能使用指數來表達數學式時，

在微积分学中，值域為。是複變函數的一种，當代入模為1的複數時，其可用於誘導公式來化簡某些特定的函數的式子。